Pengertian dan Teori Bernoulli

1.7. Teori Bernoulli

Pada aliran steady pada fluida inviscid mempunyai jumlah  mempunyai harga yang sama pada setiap titik pada garis streamline, dimana p adalah tekanan, r adalah densitas dan K adalah energi perunit massa dari fluida. Pembuktiannya dapat dilIhat PADA uraian dibawah ini. Pada Gambar 1.7.1. suatu aliran filament yang dibatasi oleh luas penampang melintang AB, CD dari luas s1 dan s2, dimana p1, q1, K1 merefer pada AB, sehingga p2, q2, K2 pada CD.

Pada waktu dt f;uida ABCD akan bergerak keposisi A’B’C’D’ dimana 

AA’= q1dt dan CC’= q2dt .

Massa m dari fluida antara AB dan A’B’, atau antara CD dan C’D’ adalah

m = s1 q1 dt r1 = s2 q2 dt r2.

Kerja yang disebabkan oleh tekanan karena fluida bergerak mengenai benda dari ABCD ke A’B’C’D’ adalah :

Kerja (work done) sehubungan dengan energi menjadi :

Pada kasus fluida pada aliran steady dengan adnya gravitasi dan r konstan dan K adalah penjumlahan energi potensial dan kinetik per unit massa, , dimana h adalah tinggi dari datum dan g percepatan gravitasi bumi, sehingga persamaan Bernoulli menjadi : sepanjang streamline. Untuk fluida dimana setiap garis streamlinenya mendapat gaya garvitasi maka teori Bernoullinya menjadi : . Bentuk umum teori Bernoulli dapat ditulis : , dimana W adalah energi potensial per unit massa.

1.8. Massa Tambah (Added Mass ).

Didalam perhitungan massa suatu struktur memerlukan data massa dari struktur dan distribusinya, termasuk pondasi dan kondisi disekitar strukturnya. Ada 2(dua) hal penting dalam perhitungan massa pada struktur bangunan laut: 

1 Massa disekeliling struktur dimana massa tersebut bergerak mengikuti pergerakan struktur tersebut baik tercelup maupun tidak tercelup, yang pada umumnya disbut massa tambah (added mass).

2. Bertambahnya massa karena adanya tumbuhan laut.

Harga massa tambah dapat tergantung pada bentuk strukturnya, untuk silinder Mam (massa tambah) adalah rpr2, dimana r adalah massa jenis air, r adalah radius silinder. Koefisien massa tambahnya

1.9. d’Alembert’s Paradox.

Sebuah tabung dengan aliran fluida inviscid didalamnya yang mempunyai kecepatan constant (U). Apabila diletakkan benda A pada tengah tabung maka aliran akan berubah, akan tetapi pada jarak yang cukup jauh aliran akan kembali tanpa adanya gangguan. Untuk mempertahankan posisi benda tersebut maka diperlukan gaya , misalkan F adalah gaya yang pararel terhadap alirannya, sehingga F=0, hal ini dikenal dengan sebutan d’Alembert’s Paradox.

1.10. Aliran melalui suatu benda.

Apabila suatu benda (bola) terkena aliran yang uniform dan gaya luar diabaikan maka aliran streamlinenya akan simetris terhadap diameter bolanya yang searah alirannya. Pada titik stagnasi (stagnation point) A maka kecepatannya adalah nol. Apabila kecepatan aliran meningkat maka lapisan batas (boundary layer) menjadi semakin tipis pada A dan dibelakang benda akan semakin tebal. Pada lapisan batas dibelakang benda akan bergerak kearah berlawanan dan membentuk ulekan (eddies) yang akhirnya disebut dengan vortex.

1.11. Matematika Review.

Di dalam perhitungan hidrodinamis sering digunakan notasi-notasi alphabet Yunani dalam notasi matematikanya. Adapun noatsi yang digunakan adalah sebagai berikut:

a) Alphabet Yunani 

1.11.1.Fourier Series.

Fourier series adalah series yang tidak terbatas dari fungsi trigonometri yang sering digunakan dalam perhitungan gelombang dan juga phenomena physic dari aliran yang periodic. Sebagai contoh untuk penyelesaian dari gelombang laut . Jika f(x) sebagai suatu fungsi dengan interval dan periodic dengan periode 2p, kemudian f(x) dapat direpresentatifkan dengan fungsi trigonometri sebagai berikut:

dimana koefisien an dan bn didapatkan dari integrasl :

Catatan : Bahwa interval dapat dipilih sebagai , dimana dalam hal ini x0 = 0, sehingga apabila f(x) sebagai fungsi genap dalam interval , maka:

Hal tersebut juga berlaku untuk fungsi ganjilnya. Bentuk fungsi cosinus dan sinus dalam series untuk f(x) dapat digabungkan dalam bentuk satu sinus atau cosinusdari amplitude dan sudut phasenya, sebagai contoh :

dimana .

Jika f(x) dibatasi oleh limit –L £ x £ L dan kemudian dengan perubahan variabelnya maka deret Fourier untuk f(x)nya menjadi:

Demikian pula jika f(x) digunakan untuk gelombang periodic dengan periode T dalam interval –T/2 £ t £ T/2 dan kemudian subsitusi kedalam persamaan f(x) menjadi: , dimana an dan bn adalah:

Contoh:

 simmetri untuk x = 0 dan periodic dengan periode a, maka

bn = 0, sehingga :  dan

, dimana = 0 untuk n genapdan mempunyai harga dari  untuk n = 0, 1, 2, ….. Jadi Fourier series dari f(x) dapat ditulis :

1.11.2. Komplek Variabel.

Dalam perhitungan hidrodinamika khususnya dalam meformulasikan persamaan matematisnya menggunakan variabel komplek. Sebagai contoh, profil gelombang dari gelombang progressive dapat ditulis dalam bentuk komplek. Bentuk komplek dapat ditulis sdalam bentuk x + iy, dimana x dan y adalah angka riil dan i adalah imajiner (i2 = -1). Bentuk umumnya adalah: z = x + iy, dimana x adalah bagian riil dari z dan ditulis: x = Re (z), sedangkan y adalah bagian imajiner dari z, ditulis y = Im (z). Simbol z disebut variabel komplek.

Jika P adalah suatu titik pada bidang komplek (x,y) atau x + iy, dan dalam koordinat polar dengan jarak r dari O dan susut q dari x positive maka x = r cos q dan y = r sin q. Dalam bentuk komplek ditulis z = x ± iy = r (cos q ± I sin q) = re± iq, yang pada umumnya disebut rumus Euler. De Moivre’s theorem menyatakan bahwa definisi diatas dapat ditulis dalam bentuk z, yaitu: 

Operasi penyelesaian komplek dar z = z1 z2, dimana z1= a1 + ib1 = r1 eiq1 dan 

z2= a2 + ib2 = r2 eiq1, sehingga z = (a1 a2 – b1 b2 ) + i( a1 b2 + a2 b1 ) dan untuk koordinat polarnya adalah z = r1 r2 e(q1+q2).

Catatan : cos kq = ½ (eikq + e-ikq) dan sin kq = ½ (eikq + e-ikq), dengan aljabar komplek diketahui sinh ikx = i sin kx dan cosh ikx = cos kx..

1.11.3. Singularity.

Suatu fungsi komplek (complex function) f(z) dalam suatu daerah R, jika turunan fungsinya adalah f’(z) ada pada setiap titik z dalam daerah R, kemudian f(z) disebut fungsi analitik dalam R. Suatu titik pada f(z) didalam analitk disebut titik singular atau singularity dari f(z). Apabila z = z0 adalah titik singular dari f(z), maka lingkarannya dapat didefinisikan sebagai |z – z0 | = d, dimana d > 0. Untuk integer positive n

dimana z = z0 disebut titik pusat dari n. Apabila n = 1, maka disebut simple pole.

1.11.4. Integrasi Komplek.

Pada Gambar 1.11.2.2.1. terlihat bahwa f(z) kontinyu pada kurva C dan dibatasi dengan limit a dan b. Selanjutnya  atau disebut garis integral dari f(z) sepanjang kurva C atau integral terbatas a ke b. Apabila daerah R dibatasi oleh kurva tertutup C yang mana tergantung pada R, dan kemudian daerah R dapat berubah menjadi titik maka disebut hubungan sederhana. Misalkan P(x,y) dan Q(x,y) kontnyu dan mempunyai turunann parsial dalam daerah R dan dibatasi oleh C, maka teori dari Green mengatakan bahwa: , demikian pula untuk masalah 3D (tiga dimensi) dapat dihitung seperti diatas.

Rumus integral Cauchy menyatakan bahwa jika f(z) fungsi analitik dan pada kurva tertutup C dan a adalah titik sebarang didalam C, maka , dimana C positive berlawanan arah jarum jam. Secara umum untuk turunan ke n dari f(z) pada z = a, ditulis: Rumus integrasi dari Cauchy banyak digunakan dalam permasalahan interaksi gelombang, difraksi dan teori radiasi.

1.11.5. Fungsi Hiperbolik.

Pada gelombang laut khusunya gelombang permukaan akan mengalami penurunan kedalaman sebagai fungsi hiperbolik, fungsi tersebut umum digunakan pada persoalan perhitungan beban gelombang pada bangunan lepas pantai. Bentuk hiperbolikus dapat berbentuk sinus, cosinus, analogi dengan fungsi lingkaran. Bentuk fungsi hiperbolik dapat ditulis dalam bentuk fungsi exponensial

Dalam bentuk series: dan sehubungan dengan fungsi lingkaran dalam bentuk komplek maka:

Untuk fungsi kwadrat pada persamaan diffrensial X” + k2 X = 0, maka sin kx dan cos kx menjadi snh kx dan cosh kx, sehingga secara umum penyelesaian persamaan kearah x adalah: . Sebagai contoh untuk penyelesaian masalah Catenary, seperti pada Gambar 1.11.5., sebuah kabel tergantung dengan titik A pada kapal dan titik B pada dasar laut. Reaksi kabel kearah horisontalnya pada titik B membuat sudut tangent terhadap dasar lautnya (ditulis R). Pada titik P pada kabel beban tegak lurusnya adalah W, dimana sama dengan berat kabel itu sendiri, w, dikalikan panjang kable, S, antara titik B dan P.

1.11.6. Fungsi Bessel.

Salah satu bentuk umum dari bentuk struktur bangunan lepas pantai adalah silinder. Fungsi Bessel (Bessel Function) adalah salah satu pemecahan penyelesaian dari persamaan differensial pangkat dua yang dapat ditulis sebagai berikut:

Penyelesaian umumnya adalah : untuk semua integer n, dimana Jn adalah Fungsi Bessel untuk orde kesatu n dan Yn adalah fungsi Bessel untuk orde ke dua dari n. Jumlah Jn dapat ditulis dalam bentuk series ke x 

1.11.7. Persamaan Differensial Parsial.

Apabila suatu variabel fungsinya tergantung dari lebih satu variabel, maka turunannya secara parsial hubungan antara variabelnya sering disebut persamaan differensial. Pada penyelesaian masalah gelombang umumnya digunakan persamaan differnsial. Misalkan fungsi z tergantung pada dua variabel x dan y, ditulis z = f(x,y). Dalam penyelesaian persamaan diatas dapat dibagi menjadi dua penurunan, yaitu pertama perubahan rata-rata dari z terhadap x dengan y konstan dan kedua perubahan rata-rata dari z terhadap y dan x konstan, penurunan persamaan tersebut disebut turunan parsial. Sebagai contoh, suatu persamaan lingkaran: , kemudian . Selanjutnya apabila x dan y fungsi dari satu variabel t, maka dapat ditulis: .

1.11.8. Vektor dan Tensor.

Scalar dan vector merupakan besaran yang sering dipakai pada masalah hidrodinamika. Scalar adalah suatu besaran yang tidak memerlukan arah pada suatu ruang, misalnya volume, berat jenis, massa, energi dan tekanan. Sedangkan vektor adalah besaran yang mempunyai magnitude dan arah, juga memenuhi hukum parallelogram dari penambahan dan perkalian, misalnya kecepatan, momentum linear dan gaya, termasuk kecepatan angular dan kecepatan momentum. Jadi jika Ia adalah unit vektor pararel terhadap vektor a, maka a = . Ia

Lihat a, b adalah dua vector dengan besaran a,b yang diwakili oleh garis OA dan OB dengan titik awal pada titik O. Sudut antara vektornya adalah q, sudut AOB merupakan sudut rotasi minimum dari a ke b, sehingga ab = ab cos q. Hasil scalar sebagai hasil OA.OM, dimana M adalah proyeksi B pada OA, sehingga OA = a, OM = b cos q, dalam bentuk umumnya ba = ba cos(-q) = ab cos q = ab.

Hasil perkalian vector juga dapat menghasilkan suatu vector. Lihat a dan b adalah dua vector dengan besaran a,b dengan membuat sudut q diukur dari a ke b. Perkalian vector a Ù b sebagai vector dengan besaran ab sin q, dimana tegak lurus terhadap adan b, dan rotasidaria ke b seperti hukum mur baut, sehingga didapatkan ba sin (-q) = -ab sin q dan a Ù b = - b Ù a.

Sebagai contoh yaitu sebuah titik P terletak pada suatu benda rigid yang bergerak pada poros titik O dengan kecepatan sudut w, dimana r adalah posisi vector P relative terhadap O. Apabila PN tegak lurus w, kemudian kecepatan dari P adalah wOP sin q tegak lurus pada bidang PON sehingga menghasilkan vector w Ù r.

Demikian pula untuk vector momen pada O dari gaya F yang bekerja pada P adalah r Ù F. Skalar dan vector apabila dikalikan maka berlaku hukum distributive, yaitu :

a (b+c) = ab + ac dan a Ù (b+c) = a Ù b + a Ù c

1.11.8.1. Vektor 

1.11.8.1.1. Hasil perkalian tiga vector.

a) Hasil triple scalar. 

Apabila ada 3 vektor a, b, c maka kombinasi a(r Ù c) disebut triple scalar. Hal ini dapat dibuktikan dengan mengassumsikan suatu kotak dengan sisi-sisinya adalah vector a, b, c, sehingga hasil skalarnya diukur oleh volumenya.

Dari gambar 1.11.8.1.1. terlihat bahwa:

a (b Ù c) = b (c Ù a) = c (a Ù b)

a (b Ù c) = - a (c Ù b) à dimana b Ù c = -c Ù b

(a Ù b) c = a (b Ù c) = [abc]

Apabila dua vektornya sama atau pararel, atau ketiga vektornya coplanar maka 

[aab] = 0

b) Hasil triple vektor. 

Apabila a, b, c adalah tiga vector, maka kombinasi a Ù (b Ù c) adalah hasil perkalian tiga vector. Apabila diketahui a Ù (b Ù c) = - a Ù (c Ù b) = (c Ù b) Ù a maka hasil perkalian tiga vektornya menjadi :

a Ù (b Ù c) = -(ab) c + (ac) b

c) Resolusi vector. 

Apabila a, b, c adalah tiga vector, tidak coplanar dan x adalah vector arbitrary maka: 

(i) x [a (b Ù c)] = a [ (b Ù c) x] + b [(c Ù a) x] + c [(a Ù b) x] 

(ii) x [a (b Ù c) = (b Ù c) (ax) + (c Ù a) (bx) + (a Ù b) (cx)

Tensor

Scalar l dan vector a, b, c, …., dan seterusnya tidak terbatas, dinyatakan dalam bentuk semicolon (;), disebut dyadic multiplication. Dengan demikian maka dapat dituliskan urutan sebagai berikut :

(1) l, a, a;b, a ; b ; c, a ; b ; c ; d, …., dimana a;b disebut dyad.

(2) a ; b ; c = (a ; b) ; c = a ; (b ; c) 

(3) a ; b ; c ; d = (a ; b) ; (c ; d) = a ; (b ; c) ; d 

(4) l ; b ; c = (l ; b) ; c = l ; (b ; c)

(5) l b ; c = (l b) ; c = l ( b ; c)

(6) (a ; b) c = a ; (b c) = a (b c)

(7) (a ; b) (c ; d) = a ; (b c) ; d = (a ; d) (b c)

(8) (a ; b) .. (c ; d) = (ad) (bc)

(9) (ad) (bc) = (cb) (da) = (bc) (ad) = (da) (cb)

(10) (a ; b) .. (c ; d) = (c ; d) .. (a ; b) = (b ; a) .. (d ; c) = (d ; c) .. (b ; a) 

(11) (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) 

(12) A ; (B+C) = A ; B + A ;C, (B+C) ; A = B ; A + C ; A

(13) (a Ù b) Ù c = - a (bc) + b (ac) = c(a;b) – c(b;a)

= c[a;b - b;a] = c[a;b - (a;b)]

(14) A(x+y) = Ax + Ay, (x+y)A = xA + yA

Definisi dari Tensor

Sebuah vektor linier dengan operator F(r) disebut tensor dari r, jika F(0) scalar, dan jika untuk setiap integer positif r ³ 1dan untuk setiap vector x, F(r) x adalah tensor r – 1. Apabila i1 , i2 , i3, adalah vector yang saling tegak lurus maka dalam bentuk tensor dapat kita tulis x = x1 i1 ,x2 i2 , x3 i3. Misalkan F adalah tensor ke2 pada bidang ke3, maka :

Fx = Fx1 i1 + Fx2 i2 + Fx3 i3

= Fi1 (i1x) + Fi2 (i2x) + F i3 (i3x)

= [(Fi1);i1 + (Fi2); i2 + (Fi3); i3]x

1.12. Definisi-definisi.

A pathline : Ada1ah sebuah locus yang merupakan kumpulan posisi titik dari sebuah partikel pada interval waktu yang berturutan.

A streakline (filament line) : Ada1ah suatu garis yang merupakan posisi dari semua partikel fuida yang mela1ui titik-titik partikel.

A streamline: Ada1ah kurva imajiner pada a1iran fuida dimana kecepatan setiap partikel sepanjang streamline sela1u membentuk tangentia1 terhadap streamlinenya pada setiap waktu.

Viskositas : Koefisien viskositas () ada1ah perbandingan dari shear stress () pada setiap titik di da1am a1iran terhadap gaya geser rata-rata pada setiap titik tegak lurus luasan dimana terjadi stress.

Inviscid : Suatu f1uida yang mempunyai zero viscosity, tidak menga1ami perubahan viskositas.

Incompressible: Suatu f1uida yang tidak menga1ami perubahan tekanan, dengan kata 1ain tekanan pada permukaan f1uida sama dengan tekanan atmosfernya. 

Irrotational : Suatu f1uida yang diassumsikan bahwa partikel tersebut berputar akan tetapi a1iran yang terbentuk tidak berputar .

Conformal Transformation: Suatu luasan atau daerah didalam z-plane yang mana dapat diplotkan kedalam suatu luasan ditempat daerah lain (ζ-plane) dengan cara transformasi. Jika ζ = ξ + i h ditransformasikan dengan hubungan ξ,, h dan x,y, sehingga fungsi ξ = ξ (x,y) dan h = h(x,y).

Pengertian dan Teori Bernoulli 2017-03-03T09:11:00-08:00 Rating: 4.5 Diposkan Oleh: frf